Question

如圖所示，已知AB為圓O的直徑，點D為線段AB上一點，且，點C為圓O上一點，且．點P在圓O所在平面上的正投影為點D，PD=DB．

（1）求證：平面；
（2）求點到平面的距離．

Answer 1

(1)證明見解析;(2) ．

試題分析：（1）先利用平面幾何知識與線面垂直的性質證線線垂直，由線線垂直得到線面垂直，再由線面垂直得到線線垂直；（2）點到平面的距離是棱錐D-PCB頂點D到底面的高,求出棱錐的體積和底面三角形PCB的面積,可以求出點到平面的距離．
試題解析：(1)如圖,連接，

由3AD=DB知，點D為AO的中點,
又∵AB為圓O的直徑，
∴，
由知，，
∴為等邊三角形,
故．
∵點在圓所在平面上的正投影為點，
∴平面，
又平面，
∴，
由PDÌ平面PAB，AOÌ平面PAB，且，
得平面.
（2）由（1）可知，，
∴，
又，，，
∴為等腰三角形，則，
設點到平面的距離為，
由得，
，
解得．