Question

（2012•眉山二模）設a₁≤a₂≤…≤a_n，b₁≤b₂≤…≤b_n為兩組實數，c₁，c₂，…，c_n是b₁，b₂，…，b_n的任一排列，我們稱S=a₁c₁+a₂c₂+a₃c₃+…+a_nc_n為兩組實數的亂序和，S₁=a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_nb₁為反序和，S₂=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n 為順序和．根據排序原理有：S₁≤S≤S₂即：反序和≤亂序和≤順序和．給出下列命題：
①數組（2，4，6，8）和（1，3，5，7）的反序和為60；
②若A=

x

2 1

+

x

2 2

+…+

x

2 n

，B=x₁x₂+x₂x₃+…+x_n-1x_n+x_nx₁其中x₁，x₂，…x_n都是正數，則A≤B；
③設正實數a₁，a₂，a₃的任一排列為c₁，c₂，c₃則

a1

c1

+

a2

c2

+

a3

c3

的最小值為3；
④已知正實數x₁，x₂，…，x_n滿足x₁+x₂+…+x_n=P，P為定值，則F=

x 2 1

x2

+

x 2 2

x3

+…+

x 2 n-1

xn

+

x 2 n

x1

的最小值為

P

2

．
其中所有正確命題的序號為

①③

．（把所有正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析：對于①，利用定義求出數組（2，4，6，8）和（1，3，5，7）的反序和能判斷①的對錯；
對于②，不妨設x₁≤x₂≤…≤x_n，由亂序和≤順序和，得x₁x₂+x₂x₃+…+x_n-1x_n+x_nx₁≤x₁²+x₂²+…+x_n²，由此能判斷②的對錯；
對于③，不妨設a₁≥a₂≥a₃＞0，則

1

a3

≥

1

a2

≥

1

a1

，由排序原理能判斷③的對錯；
對于④，由x₁≥x₂≥…≥x_n＞0，則x12≥x22≥…≥xn2，

1

x1

≤

1

x2

≤…≤

1

xn

，由此能判斷④的對錯．

解答：解：對于①，數組（2，4，6，8）和（1，3，5，7）的反序和S₁=2×7+4×5+6×3+8×1=60，故①對；
對于②，不妨設x₁≤x₂≤…≤x_n，由亂序和≤順序和，得x₁x₂+x₂x₃+…+x_n-1x_n+x_nx₁≤x₁²+x₂²+…+x_n²，即B≤A，故②錯；
對于③，不妨設a₁≥a₂≥a₃＞0，則

1

a3

≥

1

a2

≥

1

a1

，
由排序原理有

a1

c1

+

a2

c2

+

a3

c3

≥

a1

a1

+

a2

a2

+

a3

a3

=3，所以最小值為3，故③對；
對于④，由x₁≥x₂≥…≥x_n＞0，
則x12≥x22≥…≥xn2，

1

x1

≤

1

x2

≤…≤

1

xn

，
∴F≥

x12

x1

+

x22

x2

+…+

xn2

xn

=x₁+x₂+…+x_n=P，故④錯．
故答案為：①③．

點評：本題考查命題的真假判斷，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答．