Question

函數f（x）=（1+ax）ln（1+x）-x（a是實常數），x∈[0，+∞）．
①當a≥

1

2

時，試確定函數f（x）的單調性；
②當a=0時，求函數f（x）的最大值；
③若數列{a_n}滿足1a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=f（n）+n，（n=1，2，3…），S_n是{a_n}的前n項和，證明：

1

2

＜Sn＜2．

Answer 1

分析：①求函數的導數，利用導數與函數單調性之間的關系確定函數f（x）的單調性；
②利用導數和函數最值之間的關系求函數f（x）的最大值；
③根據條件求出數列的通項公式，然后求S_n，利用放縮法證明不等式即可．

解答：解：①∵f（x）=（1+ax）ln（1+x）-x，
∴f′（x）=aln（1+x）+

1+ax

1+x

-1=aln（1+x）+

(a-1)x

1+x

，
令g（x）=aln（1+x）+

(a-1)x

1+x

，
則g′（x）=

a

1+x

+

(a-1)(1+x)-(a-1)x

(1+x)2

=

ax+2a-1

(1+x)2

，
∵a≥

1

2

，
∴當x∈[0，+∞）時，g′（x）≥0，
∴函數g（x）在[0，+∞）上為增函數，
∴g（x）≥g（0）=0，即f′（x）≥0，
∴函數f（x）在[0，+∞）上為增函數；
②當a=0時，f（x）=ln（1+x）-x，
f′（x）=

1

1+x

-1=

-x

1+x

，
在x∈[0，+∞）時f′（x）≤0，
∴函數f（x）在[0，+∞）上為減函數，
∴f（x）_max=f（0）=ln1=0；
③由題意可得a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=f（n）+n=（1+an）ln（1+n），
故當n≥2時，a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=（1+an-a）lnn，
兩式相減可得na_n=ln（1+n）-lnn，
故an=

1

n

[ln(1+n)-lnn]=

1

n

ln(1+

1

n

)．
由①知，當a=1時，f（x）=（1+x）ln（1+x）-x在[0，+∞）上單調遞增，
∴x＞0時，f（x）＞f（0），
故（1++x）ln（1+x）＞x，∴ln（1+x）＞

x

1+x

．
由②知a=0時，f（x）_max=f（0）=0，
∴x＞0時，f（x）＜0，即ln（1+x）＜x，
∴

x

1+x

＜ln(1+x)＜x，x＞0．
令x=

1

n

，得

1

n+1

＜ln(1+

1

n

)＜

1

n

，
∴

1

n(n+1)

＜an＜

1

n2

，
∴Sn＞

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

n

≥1-

1

1+1

=

1

2

．
又an＜

1

n2

＜

1

(n-1)n

，(n≥2)，
∴n≥2時，Sn＜1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=2-

1

n

＜2．
故不等式成立．

點評：本題主要考查函數的單調性和導數之間的關系，以及利用放縮法證明不等式，考查學生的運算能力，綜合性較強，難度較大．