Question

已知函數f（x）=a-

2x

4x+1

（a∈R）．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）判斷并證明函數f（x）在（0，+∞）上的單調性．

Answer 1

分析：（1）首先判斷函數的定義域是否關于原點對稱，其次判斷f（-x）±f（x）=0是否成立即可；
（2）利用函數的單調性的定義即可判斷證明．

解答：解：（1）∵函數f（x）=a-

2x

4x+1

（a∈R），定義域為實數集R．
①∵f（-x）-f（x）=a-

2-x

4-x+1

-(a-

2x

4x+1

)=-

2-x×4x

1+4x

+

2x

4x+1

=-

2x

4x+1

+

2x

4x+1

=0，∴f（-x）=f（x）對于任意實數x都成立，∴函數f（x）是偶函數；
②又f（-x）+f（x）=a-

2-x

4-x+1

+a-

2x

4x+1

=2a-

2x

1+4x

×2，此式對于任意的實數x不滿足f（-x）+f（x）=0，故此函數不是奇函數．
（2）解：判斷：函數f（x）在（0，+∞）上是單調遞增函數．
證明：任取0＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=a-

2x1

4x1+1

-(a-

2x2

4x2+1

)=

(2x1-2x2)(2x1+x2-1)

(4x1+1)(4x2+1)

，
由0＜x₁＜x₂，∴2x1＜2x2，2x1+x2＞1，
∴2x1-2x2＜0，2x1+x2-1＞0，
又4x1+1＞0，4x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
所以函數f（x）在（0，+∞）上是單調遞增函數．

點評：熟練掌握函數的奇偶性的判斷方法和證明函數的單調性是解題的關鍵．