Question

已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與直角坐標系的x軸的正半軸重合．設點O為坐標原點，直線l：

x= 2 2 t+4 y= 2 2 t

（參數t∈R）與曲線C的極坐標方程為ρsin²θ=4cosθ．
（1）求直線l與曲線C的普通方程；
（2）設直線L與曲線C相交于A，B兩點，求證：

OA

•

OB

=0．

Answer 1

分析：（ I）由直線l：

x= 2 2 t+4 y= 2 2 t

（參數t∈R），知x=y+4，由此得到直線l的普通方程；由曲線C的極坐標方程為ρsin²θ=4cosθ，得到ρ²sin²θ=4ρcosθ．由此得到曲線C的普通方程．
（ II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y2=4x y=x-4

消去y得x²-12x+16=0，再由韋達定理進行求解．

解答：解：（ I）∵直線l：

x= 2 2 t+4 y= 2 2 t

（參數t∈R），
∴x=y+4，∴直線l：y=x-4，
∵曲線C的極坐標方程為ρsin²θ=4cosθ．
∴曲線C的極坐標方程為ρ²sin²θ=4ρcosθ．
曲線C：y²=4x，（5分）
（ II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y2=4x y=x-4

消去y得x²-12x+16=0，∴x₁+x₂=12，x₁x₂=16，（7分）
∴y₁y₂=（x₁-4）（x₂-4）=x₁x₂-4（x₁+x₂）+16
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂-4（x₁+x₂）+16=0．　（10分）

點評：本題考查直線方程和曲線方程的求法和數量積等于0的證明，解題時要熟練掌握參數方程和普通方程的互化，同時要注意韋達定理的合理運用．