Question

已知
(1) 求函數(shù)上的最小值；
(2) 若對一切恒成立,求實數(shù)的取值范圍；
(3) 證明:對一切,都有成立.

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：(1)對函數(shù)求導(dǎo)，通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再討論的范圍，以便得到在上的單調(diào)性.從而得到函數(shù)的最小值；（2）由題意得到，即.再通過導(dǎo)數(shù)研究在上的單調(diào)性，從而得，要想對一切恒成立,則；（3）問題等價于證明，由（1）可以得的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時取到.再構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，由單調(diào)性研究函數(shù)的最大值. 對一切，都有成立,即證明要小于函數(shù)的最小值.在本問中，盡管二者相等，但因為不同時取到，故仍可滿足題中的不等式.
試題解析：（1），
當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增
①，即時， ；
②，即時，上單調(diào)遞增，；所以 
(2），則
設(shè)，則，
當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，
所以
所以.所以實數(shù)的取值范圍為.
(3）問題等價于證明，
由（1）可知的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時取到，
設(shè)，則，易知
，當(dāng)且僅當(dāng)時取到，
從而對一切，都有成立.
考點：1.用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2.通過單調(diào)性求最值；3.不等式恒成立問題.