Question

【題目】已知函數f（x）=﹣x3+3x2+9x+a（a為常數）．
（1）求函數f（x）的單調遞減區間；
（2）若f（x）在區間[﹣2，2]上的最大值是20，求f（x）在該區間上的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）的定義域為R，f′（x）=﹣3x2+6x+9．

令f′（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞3，

所以函數f（x）的單調遞減區間為（﹣∞，﹣1），（3，+∞）

（2）解：∵f（x）=﹣x3+3x2+9x+a，∴f′（x）=﹣3x2+6x+9≥0，得x2﹣2x﹣3≤0，﹣1≤x≤3，列表如下；

x	﹣2	（﹣2，﹣1）	﹣1	（﹣1，2）	2
f′（x）		﹣	0	+
f（x）	a﹣14	遞減	a﹣5	遞增	a+ 22

∴f（x）最大值=f（2）=a+22，∴a+22=20，∴a=﹣2，∴f（x）最小值=f（﹣1）=a﹣5=﹣7

故函數的最小值是﹣7

【解析】（1）出導數，令導數小于0，解不等式求出函數的單調區間（2）先求出端點的函數值f（﹣2）與f（2），比較f（2）與f（﹣2）的大小，然后根據函數f（x）在[﹣1，2]上單調遞增，在[﹣2，﹣1]上單調遞減，得到f（2）和f（﹣1）分別是f（x）在區間[﹣2，2]上的最大值和最小值，建立等式關系求出a，從而求出函數f（x）在區間[﹣2，2]上的最小值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．