Question

在正三棱錐P-ABC中，AB=

2

，PA=

3

+1，過點A作截面交PB，PC分別于D，E，則截面△ADE的周長的最小值是

6

+

2

．

Answer 1

分析：畫出正三棱錐P-ABC側面展開圖，將問題轉化為求平面上兩點間的距離最小值問題，求出∠APB與∠APA₁，即可求得結果．

解答：解：三棱錐的側面展開圖，如圖，
△ADE的周長的最小值為AA₁，
在△PAB中，sin

1

2

∠APB=

2 2

3 +1

=

6 - 2

4

，∴

1

2

∠APB=15°，
∠APB=30°，
在△APA₁中，∴sin∠APA₁=sin90°=1，
所以AA₁=

2

PA=

6

+

2

，
故答案為：

6

+

2

．

點評：本題考查的知識點是棱錐的結構特征，其中將三棱錐的側面展開，將空間問題轉化為平面上兩點之間的距離問題，是解答本題的關鍵．