Question

已知F₁,F₂分別是橢圓E:+y²=1的左、右焦點,F₁,F₂關于直線x+y-2=0的對稱點是圓C的一條直徑的兩個端點.
(1)求圓C的方程;
(2)設過點F₂的直線l被橢圓E和圓C所截得的弦長分別為a,b.當ab最大時,求直線l的方程.

Answer 1

（1）(x-2)²+(y-2)²=4  （2）x-y-2=0或x+y-2=0

解:(1)由題設知,F₁,F₂的坐標分別為(-2,0),(2,0),圓C的半徑為2,圓心為原點O關于直線x+y-2=0的對稱點.
設圓心的坐標為(x₀,y₀),
由解得
所以圓C的方程為(x-2)²+(y-2)²=4.
(2)由題意,可設直線l的方程為x=my+2,
則圓心到直線l的距離d=.
所以b=2=.
由得(m²+5)y²+4my-1=0.
設l與E的兩個交點坐標分別為(x₁,y₁),(x₂,y₂),
則y₁+y₂=-,y₁y₂=-.
于是a==
=
==.
從而ab==
=≤ 
=2.
當且僅當=,即m=±時等號成立.
故當m=±時,ab最大,此時,直線l的方程為x=y+2或x=-y+2,
即x-y-2=0或x+y-2=0.