Question

【題目】已知函數y= x2的圖象在點（x0 ， x02）處的切線為l，若l也為函數y=lnx（0＜x＜1）的圖象的切線，則x0必須滿足（ ）
A. ＜x0＜1
B.1＜x0＜
C. ＜x0＜
D. ＜x0＜2

Answer 1

【答案】D
【解析】解：函數y= x2的導數為y′=x， 在點（x0 ， x02）處的切線的斜率為k=x0 ，
切線方程為y﹣ x02=x0（x﹣x0），
設切線與y=lnx相切的切點為（m，lnm），0＜m＜1，
即有y=lnx的導數為y′= ，
可得x0= ，切線方程為y﹣lnm= （x﹣m），
令x=0，可得y=lnm﹣1=﹣ x02 ，
由0＜m＜1，可得x0＜2，且x02＞1，
解得x0＞1，
由m= ，可得 x02﹣lnx0﹣1=0，
令f（x）= x2﹣lnx﹣1，x＞1，
f′（x）=x﹣ ＞0，f（x）在x＞1遞增，
且f（2）=1﹣ln2＞0，f（ ）= ﹣ ln3﹣1= （1﹣ln3）＜0，
則有 x02﹣lnx0﹣1=0的根x0∈（ ，2）．
故選：D．
求出函數y=x2的導數，y=lnx的導數，求出切線的斜率，切線的方程，可得x0= ，lnm﹣1=﹣ x02 ， 再由零點存在定理，即可得到所求范圍．