Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線∶和圓∶，是直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為.

（1）若，求點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若圓上存在點(diǎn)，使得，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；

（3）設(shè)線段的中點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，求線段長(zhǎng)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）先求出到圓心的距離為，設(shè)，解方程即得解；（2）設(shè)，若圓上存在點(diǎn)，使得，分析得到，即，解不等式得解；（3）設(shè)，可得所在直線方程：，點(diǎn)的軌跡為：，根據(jù)求出最大值得解.

（1）若，則四邊形為正方形，

則到圓心的距離為，

∵在直線上，設(shè)

故，解得，故；

（2）設(shè)，若圓上存在點(diǎn)，使得，

過(guò)作圓的切線，，∴，∴，

在直角三角形中，∵，

∴，即，∴，

∴，解得，

∴點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為：；

（3）設(shè)，則以為直徑的圓的方程為

化簡(jiǎn)得，與聯(lián)立，

可得所在直線方程：，

聯(lián)立，得，

∴的坐標(biāo)為，

可得點(diǎn)的軌跡為：，

圓心，半徑.其中原點(diǎn)為極限點(diǎn)（也可以去掉）.

由題意可知，∴.

∴.

∴線段的最大值為.