Question

在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），若以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為（其中為常數）．
（1）若曲線與曲線只有一個公共點，求的取值范圍；
（2）當時，求曲線上的點與曲線上的點的最小距離．

Answer 1

（Ⅰ）或，（Ⅱ）

解析試題分析：（Ⅰ）曲線M可化為，，
曲線N可化為，
若曲線M，N只有一個公共點，
則當直線N過點時滿足要求，此時，
并且向左下方平行運動直到過點之前總是保持只有一個公共點，
當直線N過點時，此時，所以滿足要求；
再接著從過點開始向左下方平行運動直到相切之前總有兩個公共點，
相切時仍然只有一個公共點，聯立 得，
，求得，
綜上可求得t的取值范圍是或．         （5分）
（Ⅱ）當時，直線N：，設M上的點為，
則曲線M上的點到直線N的距離為，
當時取等號，滿足，所以所求的最小距離為．    （10分）
考點：本題考查了極坐標、參數方程與直角方程的互化，直線與拋物線的位置關系
點評：近幾年的高考試題對選修4-4的考查都是以極坐標方程與參數方程混合命題，而且通常與直線和圓（圓錐曲線）聯系．