Question

如圖，已知在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分別是PD，PC，BC的中點．

（1）求證：平面EFG⊥平面PAD；
（2）若M是線段CD上一點，求三棱錐M﹣EFG的體積．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

試題分析：（1）要證明面面垂直，只需在一個平面內找到另一平面的一條垂線.由已知平面平面，且，可證平面，再根據是中位線，可證，從而平面，進而再證平面平面，該題實質是先找到面的一條垂線，再將平移到面內；
（2）點是線段的動點，考慮到和到面的距離相等，故，再結合第（1）問結果，取的中點連接，據面面垂直的性質，點到的距離就是三棱錐的高，再求，進而求體積.
試題解析：（1）∵平面平面，平面平面， 平面，，平面，又中，分別是的中點，，可得平面， 平面，∴平面平面；
（2）， 平面，平面，平面，因此上的點到平面的距離等于點到平面的距離，∴，取的中點連接，則，平面， 平面，∴，于是，
∵平面平面，平面平面，是正三角形，∴點到平面的距離等于正的高，即為，因此，三棱錐M﹣EFG的體積==.