Question

對任意實數(shù)列，定義它的第項為,假設是首項是公比為的等比數(shù)列.
（1）求數(shù)列的前項和；
（2）若，，.
①求實數(shù)列的通項；
②證明：.

Answer 1

（1）；（2）①；②詳見解析.

試題分析：本題以新定義的模式考察了等比數(shù)列的通項公式和前n項和以及不等式的放縮法．（1）由是首項是公比為的等比數(shù)列，故實數(shù)列確定，即，再結合的定義，得，然后求和即可（需分類討論）；（2）由，.，可確定，利用累加法可求；和式可看作數(shù)列的前n項和，故先求其通項公式，得，因前n項和不易直接求出，故可考慮放縮法，首先看不等式右邊，可想到證明每項都小于，由，進而可證明右面不等式，再考慮不等式左邊，，因為，故，進而求和可證明．
試題解析：（1）令這里
是公比為的等比數(shù)列.
，
當時，，，.   2分
當時，是公比為，首項為的等比數(shù)列；.
.   4分
綜上.   6分
（2）①由題設，，
疊加可得（）.   8分
②
.   10分
又
，，
即，，
.   12分

即.   13分