Question

（2012•黃山模擬）函數f（x）的導函數為f′（x），若對于定義域內任意x₁、x₂（x₁≠x₂），有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=f′(

x1+x2

2

)恒成立，則稱f（x）為恒均變函數．給出下列函數：
①f（x）=2x+3；
②f（x）=x²-2x+3；
③f（x）=

1

x

；
④f（x）=e^x；
⑤f（x）=lnx．
其中為恒均變函數的序號是

①②

．（寫出所有滿足條件的函數的序號）

Answer 1

分析：對于所給的每一個函數，分別計算

f(x1)-f(x2)

x1-x2

和f′(

x1+x2

2

)的值，檢驗二者是否相等，從而根據恒均變函數”的定義，做出判斷．

解答：解：對于①f（x）=2x+3，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

2x1-2x2

x1-x2

=2，f′(

x1+x2

2

)=2，滿足

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=f′(

x1+x2

2

)，為恒均變函數．
對于②f（x）=x²-2x+3，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

(x12-2x1)-(x22-2x2)

x1-x2

=

(x1-x2)(x1+x2-2)

x1-x2

=x₁+x₂-2
f′(

x1+x2

2

)=2•

x1 +x2

2

-2=x₁+x₂-2，故滿足

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=f′(

x1+x2

2

)，為恒均變函數．
對于；③f(x)=

1

x

，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

1 x1 -  1 x2

x1-x2

=

-1

x1x2

，f′(

x1+x2

2

)=-

1

( x1 +x2 2 )2

=

4

(x1+x2)2

，
顯然不滿足

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=f′(

x1+x2

2

)，故不是恒均變函數．
對于④f（x）=e^x ，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

ex1- ex2

x1-x2

，f′(

x1+x2

2

)=e

x1+x2

2

，顯然不滿足

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=f′(

x1+x2

2

)，故不是恒均變函數．
對于⑤f（x）=lnx，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

lnx1-lnx2

x1-x2

=

ln x1 x2

x1-x2

，f′(

x1+x2

2

)=

2

x1+x2

，
顯然不滿足

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=f′(

x1+x2

2

)，故不是恒均變函數．
故答案為 ①②．

點評：本題主要考查函數的導數運算，“恒均變函數”的定義，判斷命題的真假，屬于基礎題．