Question

（2012•黃山模擬）用兩點等分單位圓時，有相應正確關系為sinα+sin（π+α）=0；三點等分單位圓時，有相應正確關系為sinα+sin(α+

2π

3

)+sin(α+

4π

3

)=0，由此可以推知：四點等分單位圓時的相應正確關系為

sinα+sin(α+

π

2

)+sin(α+π)+sin(α+

3π

2

)=0

．

Answer 1

分析：根據題意，分析可得用兩點等分單位圓時，關系式為兩個角的正弦值之和為0，且第二個角與第一個角的差為圓周的

1

2

，用三點等分單位圓時，關系式為三個角的正弦值之和為0，且第二個角與第一個角的差與第三個角與第二個角的差相等，均為圓周的

1

3

，類推四點等分單位圓時，應該為四個角的正弦值之和為0，后一個角與前一個角的差為圓周的

1

4

，即可得答案．

解答：解：用兩點等分單位圓時，關系為sinα+sin（π+α）=0，兩個角的正弦值之和為0，且第一個角為α，第二個角與第一個角的差為：（π+α）-α=

2π

2

=π，
用三點等分單位圓時，關系為sinα+sin(α+

2π

3

)+sin(α+

4π

3

)=0，此時三個角的正弦值之和為0，且第一個角為α，第二個角與第一個角的差與第三個角與第二個角的差相等，均為有（α+

4π

3

）-（α+

2π

3

）=（α+

2π

3

）-α=

2π

3

．
依此類推，可得當四點等分單位圓時，為四個角正弦值之和為0，且第一個角為α，第二個角為

2π

4

+α=

π

2

+α，第三個角

π

2

+α+

2π

4

=π+α，第四個角為π+α+

2π

4

=

3π

2

+α，即其關系為sinα+sin(α+

π

2

)+sin(α+π)+sin(α+

3π

2

)=0；
故答案為sinα+sin(α+

π

2

)+sin(α+π)+sin(α+

3π

2

)=0．

點評：本題考查歸納推理，解題的關鍵在于分析兩點等分單位圓與三點等分單位圓的正弦值的個數，角的關系，得到關系式變化的規律，注意驗證得到的結論是否正確．