Question

（本小題滿分14分）
如圖，四邊形中（圖1），是的中點，，，將（圖1）沿直線折起，使二面角為（如圖2）
（1）求證：平面；
（2）求異面直線與所成角的余弦值；
（3）求點到平面的距離.

Answer 1

解：
（1）  如圖取BD中點M，連接AM，ME。因 ……1分
因 ， 滿足：,
所以是BC為斜邊的直角三角形，,                          
因是的中點,所以ME為的中位線 ，
,                                             …… 2分
是二面角的平面角=                 ……3分  
,且AM、ME是平面AME內兩相交于M的直線
平面AEM                    ……4分
因,為等腰直角三角形，
                                ……  6分
         ……  7分
（2）如圖，以M為原點MB為x軸，ME為y軸，建立空間直角坐標系，…….. 8分
則由（1）及已知條件可知B(1,0,0),，
,D,C
            …… 9分
設異面直線與所成角為,
則 ……10分 
 ……11分
由可知滿足，
是平面ACD的一個法向量,                  …… 12分
記點到平面的距離d，則在法向量方向上的投影絕對值為d  
則 ……13分  所以d       …… 14分
（2），(3)解法二：
取AD中點N，連接MN,則MN是的中位線,MN//AB,又ME//CD
所以直線與所成角為等于MN與ME所成的角，
即或其補角中較小之一                                         ……  8分
，N為在斜邊中點
所以有NE=,MN=,ME=,
        …….9分
=                     ……10分
(3)記點到平面的距離d，則三棱錐B-ACD的體積,  ……11分
又由（1）知AE是A-BCD的高、 …..12分

E為BC中點，AEBC 又, ,
       ……13分
 到平面的距離                ……14分
解法三：(1) 因 ， 滿足：, , 1分
如圖，以D為原點DB為x軸，DC為y軸，建立空間直角坐標系，         …….. 2分
則條件可知D(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0)，, A(a,b,c)  (由圖知a>0,b>0,c>0) …….3分
得 ….. 4分
平面BCD的法向量可取,
，所以平面ABD的一個法向量為        5分
則銳二面角的余弦值 …..6分
從而有,                 7分
所以平面          9分
(2)由（1），D(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0)，
設異面直線與所成角為,則 ……10分 
 ……11分
(3)由可知滿足，
是平面ACD的一個法向量,                  …… 12分
記點到平面的距離d，則在法向量方向上的投影絕對值為d  
則 ……13分  所以d       …… 14分

略