Question

（本小題滿分12分）
如圖，在幾何體P－ABCD中，四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝PA＝2.

(1)當AD＝2時，求證：平面PBD⊥平面PAC；
(2)若PC與AD所成角為45°，求幾何體P－ABCD的體積．

Answer 1

(1)見解析；(2) V＝×(2×2)×2＝

證明面面垂直利用面面垂直的判定定理，先證明線面垂直，在空間幾何體的證明中，注意線線，線面，面面之間的相互轉化；第二問求體積先需要根據條件求出BC的長度，然后就可以求出體積。
解：(1)當AD＝2時，四邊形ABCD是正方形，則BD⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD，
又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，
∵BD?平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.
(2)若PC與AD成45°角，∵AD∥BC，∴∠PCB＝45°.
∵BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAB，PB?平面PAB，
∴BC⊥PB，
∴∠CPB＝90°－45°＝45°，∴BC＝PB＝2，
∴幾何體P－ABCD的體積V＝×(2×2)×2＝