Question

【題目】如圖，在棱長都相等的正三棱柱中，分別為的中點．

（1）求證：平面；

（2）求證：平面．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）取中點，連結，根據三角形中位線定理及棱柱的性質可證明四邊形是平行四邊形，得出，由線面平行的判定定理可得平面；（2）先證明平面，得出，故而結合，根據線面垂直的判定定理可得出平面.

試題解析：（1）∵G，E分別為CB，CB1的中點，∴EG∥BB1，且，

又∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴EG∥AD，EG=AD

∴四邊形ADEG為平行四邊形．∴AG∥DE

∵AG平面ABC，DE平面ABC，所以 DE∥平面AB

（2）由可得，取BC中點G，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1，

∴BB1⊥平面ABC．∵AG平面ABC， ∴AG⊥BB1，

∵G為BC的中點，AB=AC，

∴AG⊥BC∴AG⊥平面BB1C1C，

∵B1C平面BB1C1C，∴AG⊥B1C，

∵AG∥DE，∴DE⊥B1C，

∵BC=BB1，B1E=EC，∴B1C⊥BE，

∵BE平面BDE，

DE平面BDEBE∩DE=E，

∴B1C⊥平面BDE．

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.