Question

（2013•內江二模）在實數集R中定義一種運算“⊕”，對任意a，b∈R，a⊕b為唯一確定的實數且具有性質：
（1）對任意a，b∈R，有a⊕b=b⊕a；
（2）對任意a∈R，有a⊕0=a；
（3）對任意a，b，c∈R，有（a⊕b）⊕c=c⊕（ab）+（a⊕c）+（c⊕b）-2c．
已知函數f(x)=x2⊕

1

x2

，則下列命題中：
（1）函數f（x）的最小值為3；
（2）函數f（x）為奇函數；
（3）函數f（x）的單調遞增區間為（-1，0）、（1，+∞）．
其中正確例題的序號有

（1）（3）

．

Answer 1

分析：對于新定義的運算問題常常通過賦值法得到一般性的結論，本題的關鍵是對f（x）的化簡．

解答：解：在（3）中，令c=0，則a⊕b=ab+a+b，所以f（x）=x²⊕

1

x2

=x2•

1

x2

+x2+

1

x2

=1+x2+

1

x2

．
則f(x)=1+x2+

1

x2

≥1+2

x2• 1 x2

=3，所以命題（1）正確；
由f(-x)=1+(-x)2+

1

(-x)2

=1+x2+

1

x2

=f(x)，則函數f（x）為偶函數，所以命題（2）不正確；
而f′(x)=2x-

2

x3

=

2(x2+1)(x+1)(x-1)

x3

，由此可知函數的增區間為（-1，0），（1，+∞），
所以命題（3）正確．
故答案為（1）（3）．

點評：本題是一個新定義運算型問題，考查了函數的最值、奇偶性、單調性等有關性質以及同學們類比運算解決問題的能力，是基礎題．