Question

設函數．
（Ⅰ）若在x=處的切線與直線4x+y=0平行，求a的值；
（Ⅱ）討論函數的單調區間；
（Ⅲ）若函數的圖象與x軸交于A，B兩點，線段AB中點的橫坐標為，證明．

Answer 1

（I）a=-6；（Ⅱ）①當a≥0時，函數f(x)的單調遞增區間為(0，+∞)；②當a<0時，函數f(x)的單調遞增區間為(0，)，單調遞減區間為(，+∞)；（Ⅲ）詳見解析.

試題分析：（I）f(x)的圖象在x=處的切線與直線4x+y=0平行，則，求導、代入此式即可得a的值；（Ⅱ）求導得，由x>0，知>0，故只需考慮的符號．當a≥0時，對任意x>0，>0恒成立，函數f(x)的單調遞增區間為(0，+∞)．當a<0時，令=0，解得，由此可得函數f(x)的單調遞增區間為(0，)，單調遞減區間為(，+∞)；（Ⅲ）因為函數的圖象與x軸交于A、B兩點，由（Ⅱ）知必有 .不妨設A(，0)，B(，0)，且，
因為函數f(x)在(，+∞)上單調遞減，于是要證<0成立，只需證：即．這個不等式怎么證？這是一個很常見的問題，都是將a換掉，只留，，然后將這個不等式變形為含的不等式，然后令，再利用導數證明.
試題解析：（I）由題知f(x)=2ax²+(a+4)x+lnx的定義域為(0，+∞)，
且．
又∵f(x)的圖象在x=處的切線與直線4x+y=0平行，
∴，
解得a=-6．                          4分
（Ⅱ），
由x>0，知>0．
①當a≥0時，對任意x>0，>0，
∴此時函數f(x)的單調遞增區間為(0，+∞)．
②當a<0時，令=0，解得，
當時，>0，當時，<0，
此時，函數f(x)的單調遞增區間為(0，)，單調遞減區間為(，+∞)．      9分
（Ⅲ）不妨設A(，0)，B(，0)，且，由（Ⅱ）知，
于是要證<0成立，只需證：即．
∵，  ①
， ②
①-②得，
即，
∴，
故只需證，
即證明，
即證明，變形為，
設，令，
則，
顯然當t>0時，≥0，當且僅當t=1時，=0，
∴g(t)在(0，+∞)上是增函數．
又∵g(1)=0，
∴當t∈(0，1)時，g(t)<0總成立，命題得證．          14分