Question

【題目】籃球運動于1891年起源于美國，它是由美國馬薩諸塞州斯普林菲爾德（舊譯麻省春田）市基督教青年會（）訓練學校的體育教師詹姆士·奈史密斯博士（）發明.它是以投籃、上籃和扣籃為中心的對抗性體育運動之一，是可以增強體質的一種運動.已知籃球的比賽中，得分規則如下：3分線外側投入可得3分，3分線內側投入可得2分，不進得0分.經過多次試驗，某人投籃100次，有20個是3分線外側投入，30個是3分線內側投入，其余不能入籃，且每次投籃為相互獨立事件.

（1）求該人在4次投籃中恰有三次是3分線外側投入的概率；

（2）求該人在4次投籃中至少有一次是3分線外側投入的概率；

（3）求該人兩次投籃后得分的分布列及數學期望.

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)見解析

【解析】

（1）由古典概型概率公式求出“3分線外側投入”的概率，利用獨立重復實驗概率公式求解即可；（2）利用獨立事件的概率公式，結合對立事件的概率公式求解即可；（3）兩次投籃后得分的得分可能取值為0，2，3，4，5，6，獨立事件與互斥事件概率公式求出各隨機變量對應的概率，從而可得分布列，進而利用期望公式可得的數學期望.

“3分線外側投入”“3分線內側投入”“不能入籃”分別記為事件，，，則由題意知：，，.

（1）因為每次投籃為相互獨立事件，故4次投籃中恰有三次是3分線外側投入的概率為

.

（2）記“該人在4次投籃中至少有一次是3分線外側投入”為事件，則“該人在4次投籃中沒有一次是3分線外側投入”為事件.

易知，

則.

即該人在4次投籃中至少有一次是3分線外側投入的概率為.

（3）兩次投籃后得分的得分可能取值為0，2，3，4，5，6，

由于該人兩次投籃互不影響，是相互獨立事件，

表示兩次投籃都不能入籃，則；

表示一次是3分線內側投入，另一次不能入籃，則；

表示一次是3分線外側投入，另一次不能入籃，則；

表示兩次都是3分線內側投入，則；

表示一次是3分線外側投入，另一次是3分線內側投入，則；

表示兩次都是3分線外側投入，則.

所以的分布列為

	0	2	3	4	5	6
P

數學期望為.