Question

（附加題，10分）已知函數(shù)，數(shù)列滿足，且．
（1）試探究數(shù)列是否是等比數(shù)列？（5分）
（2）試證明.（5分）

Answer 1

（1）數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列. （2）證明：見解析。

本試題主要是考查了等比數(shù)列的定義和運(yùn)用數(shù)列的求和證明不等式的運(yùn)用。
（1）由已知的關(guān)系式化簡變形得到數(shù)列的遞推關(guān)系，然后分析證明得到。
（2）由（1）知數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列
得到通項公式，進(jìn)而分析求和，得到證明。
解：（1）由得
，即 ----------1分
∴或      ∵，∴不合舍去.
由得，，（）--------3分
∴，
∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列. -------------------5分
（2）證明：由（1）知數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列
∴，∴， ------------------6分
∴＝    ---8分
∵對有，
∴，∴，即 ---10分