Question

已知數列中，，前項和．
(1) 求數列的通項公式；
(2) 設數列的前項和為，是否存在實數，使得對一切正整數都
成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：本題主要考查等差數列的證明、等差數列的通項公式、累加法、裂項相消法等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力.第一問，將中的n用n+1代替得到新的表達式，兩式子相減得到，再將這個式子中的n用n+1代替，得到一個新的式子，兩式子相減得到，從而證明了數列為等差數列；第二問，利用第一問的結論，先計算通項，通過裂項化簡，利用裂項相消法求和，得到，再放縮，與作比較.
試題解析：（1）（解法一）∵
∴
∴                3分
整理得
∴ 
兩式相減得          5分
即
∴，即             7分
∴ 數列是等差數列
且，得，則公差
∴                                             8分
（解法二）   ∵
∴
∴                  3分
整理得
等式兩邊同時除以得 ，          5分
即                        6分
累加得



得                                          8分
（2） 由（1）知
∴              10分
∴ 

                                                12分
則要使得對一切正整數都成立，只要，所以只要
∴ 存在實數，使得對一切正整數都成立，且的最小值為    14分