Question

【題目】定義在R上的單調函數f(x)滿足f(2)＝，且對任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．

(1)求證：f(x)為奇函數；

(2)若f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0對任意x∈R恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）首先令代入到恒等式可求出，再令得到，即命題成立；（2）根據題意得到函數為增函數，將單調性與奇偶性相結合原不等式等價于，令，將問題轉化為含有參數的一元二次不等式問題，利用分類討論得結果.

試題解析：(1)證明： ()，①，令，代入①式，得，即，令，代入①式，得，又，則有，即對任意恒成立，所以是奇函數．

(2) ，即，又在上是單調函數，所以在上是增函數．

又由(1)知是奇函數， ，所以對任意恒成立，令，問題等價于對任意恒成立，令，其對稱軸.

當，即時， ，符合題意；當時，對任意， 恒成立解得，綜上所述，當時， 對任意恒成立．