Question

【題目】已知函數，其中為自然對數的底數．

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）若關于的不等式在上恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）．

【解析】試題分析：（1）利用導數的意義求得切線方程為；（2），設，通過求導，分類討論，得到

的取值范圍為．

試題解析：

（1）依題意， ， ，

故，而，故所求方程為，

即．

（2），

依題意，當時， ，

即當時， ；

設，則，

設，則．

①當時，∵，∴，從而（當且僅當時，等號成立），

∴在上單調遞增，

又∵，∴當時， ，從而當時， ，

∴在上單調遞減，又∵，

從而當時， ，即，

于是當時， ；

②當時，令，得，∴，

故當時， ，

∴在上單調遞減，

又∵，∴當時， ，

從而當時， ，

∴在上單調遞增，又∵，

從而當時， ，即，

于是當時， ，不符合題意．

綜上所述，實數的取值范圍為．