Question

已知圓C的方程為x²+y²=4，過點M（2，4）作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，直線AB恰好經過橢圓T：

x2

a2

+

y2

b2

(a＞b＞0)的右頂點和上頂點．
（1）求橢圓T的方程；
（2）是否存在斜率為

1

2

的直線l與曲線C交于P、Q兩不同點，使得

OP

•

OQ

=

5

2

（O為坐標原點），若存在，求出直線l的方程，否則，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先由題意求出切線方程，把切線方程與圓方程聯立，求出直線AB的方程，由此能夠求出橢圓方程．
（2）設存在直線y=

1

2

x+m滿足題意，與橢圓聯立，得x²+2mx+2m²-2=0，令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用韋達定理和根的判別式結合題設條件得到不存在直線滿足題意．

解答：解：（1）由題意：一條切線方程為：x=2，
設另一條切線方程為：y-4=k（x-2）．（2分）
則：

|4-2k|

k2+1

=2，
解得：k=

3

4

，此時切線方程為：y=

3

4

x+

5

2

切線方程與圓方程聯立得：x=-

6

5

，y=

8

5

，
則直線AB的方程為x+2y=2．（4分）
令x=0，解得y=1，∴b=1；
令y=0，得x=2，∴a=2
故所求橢圓方程為

x2

4

+y2=1．（6分）
（2）設存在直線y=

1

2

x+m滿足題意，
聯立

y= 1 2 x+m x2 4 +y2=1

整理得x²+2mx+2m²-2=0，
令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則
∴x₁+x₂=-2m，x1x2=2m2-2，
△=（2m）²-8（m²-1）＞0，即m²＜2．（8分）
由P(X=0)=

C 3 4

C 3 6

=

1

5

，P(X=1)=

C 1 2 C 2 4

C 3 6

=

3

5

，
得：x₁x₂+y₁y₂=0，
x1x2+y1y2=x1x2+(

1

2

x1+m)(

1

2

x2+m)
=

5

4

x1x2+

1

2

m(x1+x2)+m2=

5

2

(m2-1)=

5

2

所以，m=±

2

不滿足m²＜2．（10分）
因此不存在直線滿足題意．（12分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，探索直線方程是否存在．解題時要認真審題，仔細解答，注意直線方程的求法和合理運用．