Question

【題目】已知函數，，

（1）當時，求函數的單調遞增與單調遞減區間（直接寫結果）；

（2）當時，函數在區間上的最大值為，試求實數m的取值范圍；

（3）若不等式對任意，恒成立，求實數b的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）增區間為，減區間為；

（2）；

（3）.

【解析】

（1）將題中所給的的值代入解析式，利用對勾函數的性質寫出函數的單調增區間和減區間即可；

（2）解不等式即可得結果；

（3）將題中所給的式子進行變形，將問題轉化為在上單調遞增，結合分段函數的解析式和二次函數圖象的對稱軸，分類討論得到結果.

（1）當時，，

所以函數的單調增區間為和，

單調減區間為和；

（2）因為，

且函數在上單調遞減，在上單調遞增，

又因為在上的最大值為，所以，

即，整理得，

所以，所以，即，

所以的取值范圍是；

（3）由對任意恒成立，

即，

令，等價于在上單調遞增，

而，

分以下三種情況來討論：

（i）當時，即時，

結合函數圖象可得，解得，矛盾，無解；

（ii）時，即時，

函數圖象的走向為減、增、減、增，但是中間增區間的長度不足1，

要想使函數在上單調遞增，

只能，解得，矛盾，無解；

（iii），即，

此時，函數在上單調遞增，

要想使函數在上單調遞增，

所以需要，解得，所以，

綜上，滿足條件的的取值范圍是.