Question

【題目】已知拋物線C： ，點 在x軸的正半軸上，過點M的直線 與拋物線C相交于A，B兩點，O為坐標原點．

（1）若 ，且直線 的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程；
（2）是否存在定點M，使得不論直線 繞點M如何轉動， 恒為定值？

Answer 1

【答案】
（1）解：當 時， ，此時，點M為拋物線C的焦點，
直線 的方程為 ，設 ，聯立 ，
消去y得， ，∴ ， ，∴圓心坐標為 ．
又 ，∴圓的半徑為4，∴圓的方程為
（2）解：由題意可設直線 的方程為 ，則直線 的方程與拋物線C： 聯立，
消去x得： ，則 ， ，

對任意 恒為定值，
于是 ，此時 ．
∴存在定點 ，滿足題意
【解析】（1）根據條件可求出直線l的方程，將直線方程與拋物線方程聯立后，利用韋達定理可得出以A、B為直徑的圓的半徑、圓心坐標，寫出圓的方程即可。
（2）根據條件設出直線l的方程，與拋物線方程聯立后表示出A、B坐標，代入給出的式子、化簡后得到=，則即k=2試該式恒為定值。