【題目】如圖，四棱錐
中，底面
為菱形，
，
，點
為
的中點.
（1）證明：
；
（2）若點
為線段
的中點，平面
平面，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】分析：（1）由正三角形的性質可得
，由等腰三角形的性質可得
，由線面垂直的判定定理可得
平面
，從而可得結論；（2）由（1）知
，結合面面垂直的性質可得，
平面
，以
為坐標原點，分別以
，
，
所在直線為
，
，
軸，建立空間直角坐標系，求出平面
的一個法向量取平面的一個法向量
，利用空間向量夾角余弦公式可得結果.
詳解：（1）連接
，
因為
，
，所以
為正三角形，又點為
的中點，所以.
又因為
，為的中點，所以.
又
，所以平面，又
平面，所以
.
（2）由（1）知.又平面
平面，交線為，所以平面，
以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則
，
，
，
，
，
，
設平面的一個法向量為
，
可得
得
，
由（1）知平面，則取平面的一個法向量，
，故二面角
的余弦值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某農科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節大豆新品種發芽多少之間的關系進行分析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子中的發芽數，得到如下資料：
日期 | 12月1日 | 12月2日 | 12月3日 | 12月4日 | 12月5日 |
溫差 | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
發芽數 | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
該農科所確定的研究方案是：先從這5組數據中選取2組，用剩下的3組數據求線性回歸方程，再用被選取的2組數據進行檢驗.
（1）求選取的2組數據恰好是不相鄰2天的數據的概率；
（2）若選取的是12月1日與12月5日的2組數據，請根據12月2日至4日的數據，求出
關于
的線性回歸方程
，由線性回歸方程得到的估計數據與所選取的檢驗數據的誤差均不超過2顆，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（2）中所得的線性回歸方程是否可靠？
附：參考公式：
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】近年空氣質量逐步惡化，霧霾天氣現象出現增多，大氣污染危害加重. 大氣污染可引起心悸、呼吸困難等心肺疾病。為了解某市心肺疾病是否與性別有關，在某醫院隨機的對入院50人進行了問卷調查得到了如在的列聯表:已知在全部50人中隨機抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率為
.
（Ⅰ）請將右面的列聯表補充完整；
患心肺疾病 | 不患心肺疾病 | 合計 | |
男 | 5 | ||
女 | 10 | ||
合計 | 50 |
（Ⅱ）是否有99.5%的把握認為患心肺疾病與性別有關?說明你的理由；
（Ⅲ）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃病.現在從患心肺疾病的10位女性中，選出3名進行其他方面的排查，記選出患胃病的女性人數為
，求的分布列以及數學期望.
下面的臨界值表供參考:
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（參考公式
其中
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某漁輪在航行中不幸遇險，發出呼救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁輪在方位角為45°，距離為10mile的C處，并測得漁輪正沿方位角為105°的方向，以
mile/h的速度向某小島靠攏，我海軍艦艇立即向方位角為
方向，以
mile/h的速度前去營救，求艦艇與漁輪相遇時所需的最短時間和
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】從2名男生和2名女生中任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動,每天一人,則星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率為( )
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，平面
平面ABCD，且
，
.四邊形ABCD滿足
，
，
.E為側棱PB的中點，F為側棱PC上的任意一點.
(1)若F為PC的中點，求證:
平面PAD；
(2)求證:平面
平面PAB；
(3)是否存在點F，使得直線AF與平面PCD垂直?若存在，寫出證明過程并求出線段PF的長；若不存在，請說明理由.
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