Question

【題目】如圖所示,圓C上有n個(gè)不同的點(diǎn)P1,P2,…,Pn,設(shè)兩兩連接這些點(diǎn)所得線段PiPj中,任意三條在圓內(nèi)都不共點(diǎn),試證它們在圓內(nèi)共≥4).

Answer 1

【答案】見解析

【解析】分析：利用數(shù)學(xué)歸納法分兩步逐步證明即可.

詳解：設(shè)圓內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為P(n).

(1)當(dāng)n=4時(shí),則P(4)=1.

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),P(k)k+1個(gè)點(diǎn),且P1,P2,…,Pk,Pk+1按逆時(shí)針方向排列,依次連接Pk+1P1,Pk+1P2,…,可增加k條線段,分別考查這k條線段與此前圓內(nèi)線段的交點(diǎn)個(gè)數(shù):

與Pk+1P1:0個(gè);

與Pk+1P2:k-2個(gè)(分別與P1P3,P1P4,…,P1Pk交得);

與Pk+1P3:2(k-3)個(gè)(分別與P1P4,P1P5,…,P1Pk,P2P4,…,P2Pk交得);

與Pk+1P4:3(k-4)個(gè)(分別與P1P5,…,P1Pk,…,P3Pk交得);

與Pk+1Pk-1:(k-2)×1個(gè)(分別與P1Pk,P2Pk,…,Pk-2Pk交得),

故總共增加:1(k-2)+2(k-3)+3(k-4)+…+(k-2)[(k-1)-(k-2)]=k+2k+…+(k-2)k-[1×2+2×3+3×4+…+(k-2)(k-1)]個(gè)交點(diǎn),得P(k+1)n=k+1時(shí)命題成立.

根據(jù)(1)(2)可知,對(duì)一切n≥4的自然數(shù)n命題都成立.