Question

【題目】將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A﹣BC﹣C，有如下四個結論：
①AC⊥BD；②△ABC是等邊三角形；
③AB與CD所成的角90°；④二面角A﹣BC﹣D的平面角正切值是；
其中正確結論是 ．（寫出所有正確結論的序號）

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：取BD中點E，連結AE，CE，則AE⊥BD，CE⊥BD，∴BD⊥平面ACE，∴AC⊥BD．故①正確．
設折疊前正方形的邊長為1，則BD= ， ∴AE=CE= ．
∵平面ABD⊥平面BCD，∴AE⊥平面BCD，∴AE⊥CE，∴AC==1．
∴△ABC是等邊三角形，故②正確．
取BC中點F，AC中點G，連結EF，FG，EG，則EF∥CD，FG∥AB，
∴∠EFG為異面直線AB，CD所成的角，在△EFG中，EF=CD= ， FG=AB= ， EG=AC= ，
∴△EFG是等邊三角形，∴∠EFG=60°，故③錯誤．
∵AF⊥BC，BC⊥CD，EF∥CD，∴∠AFE為二面角A﹣BC﹣D的平面角．
∵AE⊥EF，∴tan∠AFE=．故④正確．
所以答案是：①②④．

【考點精析】通過靈活運用平面與平面垂直的性質，掌握兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直即可以解答此題．