Question

（本小題滿分10分）選修4—1: 幾何證明選講
如圖，已知與圓相切于點，經過點的割線交圓于點，的平分線分別交于點．

（1）證明：；
（2）若,求的值．

Answer 1

(1)見解析；(2) =．

本試題主要是考查了三角形的相似和圓內的性質的綜合運用。
（1）因為結合切割線定理和弦切角定理可知角的相等，進而得到結論。
（2）由(1)知∠BAP=∠C, 又 ∵∠APC=∠BPA,
∴△APC∽△BPA并結合由三角形內角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°可知在Rt△ABC中，=,得到求解。
解：(1)∵ PA是切線，AB是弦，
∴∠BAP=∠C，
又 ∵∠APD=∠CPE, ∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,
∵∠ADE=∠BAP+∠APD,
∠AED=∠C+∠CPE,             
∴∠ADE=∠AED．               
(2)由(1)知∠BAP=∠C, 又 ∵∠APC=∠BPA,
∴△APC∽△BPA, ∴,          
∵ AC="AP," ∴∠APC=∠C=∠BAP,
由三角形內角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°,
∵ BC是圓O的直徑，∴∠BAC="90°," ∴∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°,
∴∠C=∠APC=∠BAP=×90°=30°．               
在Rt△ABC中，=, ∴=．