Question

【題目】已知.

（1）若在上單調遞增，求的取值范圍；

（2）若有兩個極值點，，，證明：（i）；（ii）.

Answer 1

【答案】（1）a≤6（2）見解析

【解析】

（1）f’(x)＝4ex＋2e－2x－a，轉化為≥0求解，構造g(x)＝4ex＋2e－2x－a，求導求g(x)的最小值即可；（2）（ⅰ）由（1）設g(x)的兩個零點為，，＜0＜，且a＞6．令h(x)＝g(x)－g(－x)，證明h(x)在(0，＋∞)上單調遞減，當x＞0時，h(x)＜h(0)＝0，進而證明g()－g(－)＜0，從而g()＜g(－)，，得＋＞0；（ⅱ）證明f(x)＋f(－x)＝－(ex＋e－x－2)2＋6≤6．可得f()＜f(－)，所以＜6．

（1）f’(x)＝4ex＋2e－2x－a，

令g(x)＝4ex＋2e－2x－a，則g’(x)＝4ex－4e－2x，

顯然g’(x)在(－∞，＋∞)單調遞增，且g(0)＝0，

所以當x∈(－∞，0)時，g’(x)＜0，g(x)單調遞減；

當x∈(0，＋∞)時，g’(x)＞0，g(x)單調遞增．

所以g(x)的最小值為g(0)＝6－a，即f’(x)的最小值為6－a，

要使f(x)為單調增函數，則有f’(x)≥0，

所以6－a≥0，故a≤6．

（2）證明：

（ⅰ）由（1）得g(x)的兩個零點為，，＜0＜，且a＞6．

f(x)在(－∞，)和(，＋∞)上單調遞增，在(，)上單調遞減．

令h(x)＝g(x)－g(－x)，

則h’(x)＝g’(x)＋g’(－x)

＝4ex－4e－2x＋4e－x－4e2x

＝4[－(ex＋e－x)2＋(ex＋e－x)＋2]

＝4[2－(ex＋e－x)][1＋(ex＋e－x)]＜0，

所以h(x)在(0，＋∞)上單調遞減，當x＞0時，h(x)＜h(0)＝0．

所以g()－g(－)＜0，從而g()＜g(－)，

又g)＝g()＝0，所以g()＜g(－)，

因為g(x)在(－∞，0)上單調遞減，，－∈(－∞，0)，

所以＞－，故＋＞0．

（ⅱ）f(x)＋f(－x)＝4ex－e－2x＋4e－x－e2x＝－(ex＋e－x)2＋4(ex＋e－x)＋2

＝－(ex＋e－x－2)2＋6≤6．

由（ⅰ）得＋＞0，所以＞－＞0，

由f(x)在(，)上單調遞減，可得f()＜f(－)，

從而有f()＋f()＜f()＋f(－)≤6，

所以f()＋f()＜6．