Question

【題目】如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,DB=BC,DB⊥AC,點M是棱BB1上一點.

(1)求證:B1D1∥平面A1BD;

(2)求證:MD⊥AC;

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）在平面A1BD內找到和B1D1平行的直線BD即可．利用線線平行來推線面平行；（2）先利用條件BB1⊥AC和BD⊥AC證得AC⊥面BB1D，再證明MD⊥AC即可；（3）因為棱BB1上最特殊的點是中點，所以先看中點．取DC的中點N，D1C1的中點N1，連接NN1交DC1于O，BN⊥DC面ABCD⊥面DCC1D1，BN⊥面DCC1D1．而又可證得BN∥OM，所以可得OM⊥平面CC1D1D平面DMC1⊥平面CC1D1D．

詳解：（1）證明：由直四棱柱，得BB1∥DD1且BB1=DD1，所以BB1D1D是平行四邊形，

所以B1D1∥BD．

而BD平面A1BD，B1D1平面A1BD，

所以B1D1∥平面A1BD．

（2）證明：因為BB1⊥面ABCD，AC面ABCD，所以BB1⊥AC，

又因為BD⊥AC，且BD∩BB1=B，

所以AC⊥面BB1D，

而MD面BB1D，所以MD⊥AC．

（3）當點M為棱BB1的中點時，平面DMC1⊥平面CC1D1D

取DC的中點N，D1C1的中點N1，連接NN1交DC1于O，連接OM．

因為N是DC中點，BD=BC，所以BN⊥DC；又因為DC是面ABCD與面DCC1D1的交線，而面ABCD⊥面DCC1D1，

所以BN⊥面DCC1D1．

又可證得，O是NN1的中點，所以BM∥ON且BM=ON，即BMON是平行四邊形，所以BN∥OM，所以OM⊥平面CC1D1D，因為OM面DMC1，所以平面DMC1⊥平面CC1D1D．