Question

【題目】已知函數（）.

（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）若有兩個極值點，求實數a的取值范圍；

（Ⅲ）若，求在區間上的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

由題意得；

（Ⅰ）當時，求得，，根據點斜式方程即可求出切線方程；

（Ⅱ）由題意得兩個不等的正根，令，則，由此可得函數的單調性，由此可求出答案；

（Ⅲ）由題意可得，由二階導的取值符號可得到的單調性，得到，由此可求出函數在上單調遞減，從而求出最值．

解：∵，

∴；

（Ⅰ）當時，，，

∴曲線在點處的切線方程為，

即；

（Ⅱ）∵若有兩個極值點，

∴有兩個不等的正根，即兩個不等的正根，

令，，，

令，

當時，此時單調遞增，；

當時，此時單調遞減，

∴函數在處取得極大值，也是最大值，

因為兩個不等的正根，

∴，得，

∴實數a的取值范圍是；

（Ⅲ）∵，

∴，，

∵，，令，

當時，，此時單調遞增，

當時，，此時單調遞減，

故，

∴在上單調遞減，

故在上的最小值為．