Question

（（本小題滿分12分）
如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD，底面為直角梯形，，且AD=2，AB=BC=1，PA=
（Ⅰ）設M為PD的中點，求證：平面PAB；
（Ⅱ）若二面角B—PC—D的大小為150°，求此四棱錐的體積.

Answer 1

解法一：（Ⅰ）證明：取PA的中點N，連結BN、NM，

在△PAD中，，且；
又，且，
所以MNBC，即四邊形BCMN為平行四邊形，.
又平面PAB，平面PAB，故平面PAB.   ……5分
（Ⅱ）如圖，連結AC，則二面角B—PC—D的大小等于二面角B—PC—A的大小與二面角D—PC—A的大小的和. 由知，又，所以平面PAC，即平面P平面PAC，所以二面角D—PC—A的大小為90°. 于是二面角B—PC—A的大小為60°，過B作于E，過E作于F，連結BF，由三垂線定理知為二面角B—PC—A的平面角.                                               ……9分
在Rt△ABC中，，又易知△PBC為Rt△，且，
∴，解得                    ……11分
所以四棱錐P—ABCD的體積為                 ……12分

解法二：以A為坐標原點，以AB、AD、AP所在直線為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系. 則B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，）.   ……2分
（Ⅱ）由M為PD中點知M的坐標為（0，1，），所以.
又平面PAB的法向量可取為，而，即.
又平面PAB，所以平面PAB.                                 ……6分
（Ⅱ）設平面PBC的法向量為.
∵ ∴
不妨取，則，∴                            
又設平面PCD的法向量為.
∵ ∴ 
不妨取，則 ∴.                     ……9分
由的方向可知，解得．   ……11分
所以四棱錐P—ABCD—體積為．                  ……12分

略