Question

(本小題滿分13分)
已知數列的相鄰兩項是關于的方程的兩根，且
（1）求證：數列是等比數列；
（2）求數列的前項和；
（3）設函數若對任意的都成立，求的取值范圍。

Answer 1

（1）∵a_n+a_n+1=2ⁿ
。
（2）；（3）t<1。

試題分析：（1）∵a_n+a_n+1=2ⁿ
 （3分）
（2）S_n=a₁+a₂+……+a_n
（6分）
（3）b_n=a_n·a_n+1

∴當n為奇數時
     （9分）
當n為偶數時
（12分）
綜上所述，t的取值范圍為t<1                     （13分）
點評：若已知遞推公式為的形式求通項公式常用累加法。
注：①若是關于n的一次函數，累加后可轉化為等差數列求和;
②若是關于n的二次函數，累加后可分組求和;
③是關于n的指數函數，累加后可轉化為等比數列求和;
④是關于n的分式函數，累加后可裂項求和。