Question

【題目】已知函數f（x）= ．
（1）求f（f（ ））；
（2）若x0滿足f（f（x0））=x0 ， 且f（x0）≠x0 ， 則稱x0為f（x）的二階不動點，求函數f（x）的二階不動點的個數．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= ．

∴f（ ））=ln = ，

∴f（f（ ））=f（ ）=2﹣2× =1

（2）解：函數f（x）= ．x∈[0， ），f（x）=2﹣2x∈（1，2]，

x∈[ ，1），f（x）=2﹣2x∈（0，1]，

x∈[1，e]，f（x）=lnx∈（0，1），

∴f（f（x））= ，

若x0滿足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，則稱x0為f（x）的二階不動點，

所以：x0∈[0， ），ln（2﹣2x0）=x0，由y=ln（2﹣x0），y=x0，圖象可知：

存在滿足題意的不動點．

x0∈[ ，1），﹣2+4x0=x0，解得x0= ，滿足題意．

x0∈[1，e]，2﹣2lnx0=x0，即2﹣x0=2lnx0，由y=2﹣x0，y=2lnx0，圖象可知：

存在滿足題意的不動點．

函數f（x）的二階不動點的個數為：3個

【解析】（1）利用分段函數，逐步求解函數值即可．（2）利用分段函數求出f（f（x0））的解析式，然后通過求解方程得到函數f（x）的二階不動點的個數．