Question

【題目】若存在兩個正實數x、y，使得等式x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0成立，其中e為自然對數的底數，則實數a的取值范圍為 ．

Answer 1

【答案】a＜0或a≥
【解析】解：由x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）=0得x+a（y﹣2ex）ln =0， 即1+a（ ﹣2e）ln =0，
即設t= ，則t＞0，
則條件等價為1+a（t﹣2e）lnt=0，
即（t﹣2e）lnt= 有解，
設g（t）=（t﹣2e）lnt，
g′（t）=lnt+1﹣ 為增函數，
∵g′（e）=lne+1﹣ =1+1﹣2=0，
∴當t＞e時，g′（t）＞0，
當0＜t＜e時，g′（t）＜0，
即當t=e時，函數g（t）取得極小值，為g（e）=（e﹣2e）lne=﹣e，
即g（t）≥g（e）=﹣e，
若（t﹣2e）lnt= 有解，
則 ≥﹣e，即 ≤e，
則a＜0或a≥ ，
所以答案是：a＜0或a≥ ．