Question

已知是定義在上的奇函數，當時，，則，在上所有零點之和為（   ）

A．7

B．8

C．9

D．10

Answer 1

B

試題分析：∵函數f（x）是定義在R上的奇函數，∴f（-x）=-f（x）．又∵函數g（x）=xf（x）-1，∴g（-x）=（-x）f（-x）-1=（-x）[-f（x）]-1=xf（x）-1=g（x），∴函數g（x）是偶函數，∴函數g（x）的零點都是以相反數的形式成對出現的．∴函數g（x）在[-6，6]上所有的零點的和為0，∴函數g（x）在[-6，+∞）上所有的零點的和，即函數g（x）在（6，+∞）上所有的零點之和．由0＜x≤2時，f（x）=2^|x-1|-1，即，∴函數f（x）在（0，2]上的值域為[，1]，當且僅當x=2時，f（x）=1，又∵當x＞2時，f（x）=f(x-2)，∴函數f（x）在（2，4]上的值域為[]，函數f（x）在（4，6]上的值域為[]，函數f（x）在（6，8]上的值域為[]，當且僅當x=8時，f（x）=，函數f（x）在（8，10]上的值域為[]，當且僅當x=10時，f（x）=，故f（x）＜在（8，10]上恒成立，g（x）=xf（x）-1在（8，10]上無零點，同理g（x）=xf（x）-1在（10，12]上無零點，依此類推，函數g（x）在（8，+∞）無零點，綜上函數g（x）=xf（x）-1在[-6，+∞）上的所有零點之和為8，故選B
點評：此類問題綜合了函數的奇偶性，函數的零點，函數的圖象和性質，難度較大，故可以用歸納猜想的方法進行處理