Question

【題目】已知曲線C上任意一點(diǎn)M到點(diǎn)F（0，1）的距離比它到直線 的距離小1.
（1）求曲線C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn) P(2，2)的直線m與曲線C交于A,B兩點(diǎn)，設(shè)當(dāng)△AOB的面積為4時(shí)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求 的值.

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】 點(diǎn)M到點(diǎn)F(1.0)的距離比它到直線的距離小于1，

∴點(diǎn)M在直線l的上方，點(diǎn)M到F（1，0）的距離與它到直線 的距離相等 所以點(diǎn)M的軌跡C是以F為焦點(diǎn)，l'為準(zhǔn)線的拋物線 ，所以曲線C的方程為x2=4y .

（2）

【解答】當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，它與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，

設(shè)直線m的方程為 ，代入 （*）

,對(duì)恒成立,所以直線m與曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)設(shè)交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為 ，

則

所以

點(diǎn)O到直線m的距離 ，

所以

所以或（舍去）

或

當(dāng) 是, 方程（*）的解為 ,或

當(dāng) 時(shí) 方程（☆）的解為

【解析】（1）由題設(shè)知：點(diǎn)M的軌跡C是以F為焦點(diǎn)，l′為準(zhǔn)線的拋物線，由此能求出曲線C的方程．（2）設(shè)直線m的方程為y=kx+（2-2k），代入x2=4y，得x2-4kx+8（k-1）=0，由△=16（k2-2k+2）＞0對(duì)k∈R恒成立，知直線m與曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，再由韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式，利用 、△AOB的面積為4 ，能求出λ的值．