【題目】已知橢圓
的離心率為
，短軸長為4.
（1）求橢圓
的方程；
（2）過點
作兩條直線，分別交橢圓于
兩點（異于
），當直線
，
的斜率之和為4時，直線
恒過定點，求出定點的坐標.
【答案】（1）
（2）見解析
【解析】
（1）首先根據題中所給的條件，得到
所滿足的等量關系式，求解即可；
（2）分直線AB的斜率存在與不存在兩種情況進行討論，寫出直線的方程
，，將其與橢圓方程聯立，根據題中的條件，求得
，從而求得直線所過的定點為
，當直線AB斜率不存在時，驗證也過該點，得證.
（1）由題意知：
，
，
.
解得
，
，
，所以橢圓方程為.
（2）當直線
的斜率存在時，設直線方程為，
，
.
由
，得
，
聯立
，消去
得
，由題意知二次方程有兩個不等實根，
∴
，
.
代入
得
，整理得
.
∵
，∴，∴
，
，所以直線恒過定點.
當直線的斜率不存在時，設直線的方程為
，
，
，其中
，∴
.由，得
，∴
.
∴當直線的斜率不存在時，直線也過定點.
綜上所述，直線恒過定點.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某單位利用周末時間組織職工進行一次“健康之路、攜手共筑”徒步走健身活動，有
人參加，現將所有參加人員按年齡情況分為
，
六組，其頻率分布直方圖如圖所示，已知
歲年齡段中的參加者有
人.
（1）求的值并補全頻率分布直方圖；
（2）從
歲年齡段中采用分層抽樣的方法抽取
人作為活動的組織者，其中選取
人作為領隊，記選取的名領隊中年齡在
歲的人數為
，求的分布列.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列四個命題：
①樣本方差反映的是所有樣本數據與樣本平均值的偏離程度；
②某校高三一級部和二級部的人數分別是m、n，本次期末考試兩級部數學平均分分別是a、b，則這兩個級部的數學平均分為
③某中學采用系統抽樣方法，從該校高一年級全體800名學生中抽50名學生做牙齒健康檢查，現將800名學生從001到800進行編號，已知從497--512這16個數中取得的學生編號是503，則初始在第1小組00l～016中隨機抽到的學生編號是007．
其中命題正確的個數是（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學校高三年級學生某次身體素質體能測試的原始成績采用百分制，已知所有這些學生的原始成績均分布在
內，發布成績使用等級制，各等級劃分標準見下表．
百分制 | 85分及以上 | 70分到84分 | 60分到69分 | 60分以下 |
等級 | A | B | C | D |
規定：A，B，C三級為合格等級，D為不合格等級為了解該校高三年級學生身體素質情況，從中抽取了n名學生的原始成績作為樣本進行統計．
按照
，
，
，
，
的分組作出頻率分布直方圖如圖1所示，樣本中分數在80分及以上的所有數據的莖葉圖如圖2所示
求n和頻率分布直方圖中的x，y的值，并估計該校高一年級學生成績是合格等級的概率；
根據頻率分布直方圖，求成績的中位數
精確到
；
在選取的樣本中，從A，D兩個等級的學生中隨機抽取2名學生進行調研，求至少有一名學生是A等級的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知a<2，函數f(x)＝(x2＋ax＋a)ex.
（1）當a＝1時，求f(x)的單調遞增區間；
（2）若f(x)的極大值是6e-2，求a的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司共有職工1500人,其中男職工1050人,女職工450人.為調查該公司職工每周平均上網的時間,采用分層抽樣的方法,收集了300名職工每周平均上網時間的樣本數據(單位:小時)
男職工 | 女職工 | 總計 | |
每周平均上網時間不超過4個小時 | |||
每周平均上網時間超過4個小時 | 70 | ||
總計 | 300 |
(Ⅰ)應收集多少名女職工樣本數據?
(Ⅱ)根據這300個樣本數據,得到職工每周平均上網時間的頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數據分組區間為:
，
，
，
，
，
.試估計該公司職工每周平均上網時間超過4小時的概率是多少?
(Ⅲ)在樣本數據中,有70名女職工的每周平均上網時間超過4個小時.請將每周平均上網時間與性別的
列聯表補充完整,并判斷是否有95%的把握認為“該公司職工的每周平均上網時間與性別有關”
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖,在三棱柱
中,
⊥底面
，底面為等邊三角形，
,
, 
,
分別為
, 
的中點.
（1）求證：
平面
；
（2）求平面與平面所成二面角的余弦值；
（3）設平面與平面的交線為
求證：
與平面
不平行.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個平面后，某學生得出下列四個結論：
①BD⊥AC；
②△BAC是等邊三角形；
③三棱錐D－ABC是正三棱錐；
④平面ADC⊥平面ABC.
其中正確的是（ ）
A.①②④B.①②③
C.②③④D.①③④
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