Question

【題目】已知拋物線的頂點是橢圓的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合.

（1）求拋物線的方程；

（2）已知動直線過點，交拋物線于，兩點，坐標原點為的中點，求證；

（3）在（2）的條件下，是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；（3）存在；直線

【解析】

（1）根據橢圓焦點坐標可求得的值，從而求得拋物線的方程；

（2）設出點的坐標，并求得點的坐標，當直線的斜率不存在時利用拋物線的對稱性可使問題得證，當直線的斜率存在時，設出直線的方程，然后聯立拋物線的方程，從而利用韋達定理與斜率公式可使問題得證；

（3）首先設直線滿足題意，由此得到圓心的坐標，然后過點作直線的垂線，垂足為，設直線與圓的一個交點為，從而根據求出的值，使問題得解.

解：（1）設拋物線的方程為

由題意可知，拋物線的焦點為

∴

∴拋物線的方程為.

（2）證明：設，

由為的中點，得點的坐標為

當垂直于軸時，由拋物線的對稱性知；

當不垂直于軸時，設

由，

∴

∵，，

∴

∴.

（3）設存在直線滿足題意

由（2）知圓心，過作直線的垂線，垂足為，則

設直線與圓的一個交點為，連接，則

即

.

當時，，

此時直線被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值，因此存在直線滿足題意.