Question

【題目】已知動點P（x，y）滿足方程xy=1（x＞0）．
（Ⅰ）求動點P到直線l：x+2y﹣ =0距離的最小值；
（Ⅱ）設定點A（a，a），若點P，A之間的最短距離為2 ，求滿足條件的實數a的取值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由點到直線的距離公式可得： ，當且僅當 時距離取得最小值 ．
（Ⅱ）設點 （x＞0），則 ，
設 （t≥2），則 ， ，設f（t）=（t﹣a）2+a2﹣2（t≥2）
對稱軸為t=a
分兩種情況：
（i）a≤2時，f（t）在區間[2，+∞）上是單調增函數，故t=2時，f（t）取最小值
∴ ，∴a2﹣2a﹣3=0，∴a=﹣1（a=3舍）．
（ii）a＞2時，∵f（t）在區間[2，a]上是單調減，在區間[a，+∞）上是單調增，
∴t=a時，f（t）取最小值，
∴ ，∴ （ （舍），
綜上所述，a=﹣1或 ．
【解析】（Ⅰ）由點到直線的距離公式與基本不等式的性質即可得出．（Ⅱ）設點 （x＞0），則 ，設 （t≥2），則 ，設f（t）=（t﹣a）2+a2﹣2（t≥2），對a與2的大小關系分類討論即可得出．
【考點精析】關于本題考查的基本不等式和點到直線的距離公式，需要了解基本不等式：,（當且僅當時取到等號）；變形公式：；點到直線的距離為：才能得出正確答案．