Question

【題目】動點到直線的距離比它到點的距離大1．

(1)求點的軌跡的方程；

(2)過定點作直線,與(1)中的軌跡相交于、兩點,為點關于原點的對稱點,證明：；

(3)在(2)中，是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在求出的方程；若不存在,請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)不存在,理由見解析.

【解析】

(1)根據題意結合拋物線的定義可以求出點的軌跡的方程；

(2)設出直線方程,與拋物線方程聯立,得到一個一元二次方程,結合一元二次方程根與系數關系只要證明直線斜率之和為零即可；

(3)求出以為直徑的圓的圓心和半徑,利用垂徑定理求出弦長,判斷是不是定值即可.

(1)因為動點到直線的距離比它到點的距離大1,所以動點到直線的距離等于它到點的距離,由拋物線的定義可知：點的軌跡是以為焦點,原點為頂點的拋物線, 因此,所以點的軌跡的方程是

；

(2)由題意可設直線的方程為：與拋物線方程聯立得：

,設、兩點坐標為：

所以有.

由題意可知：,直線斜率分別記作：

所以有

,

所以；

(3) 以為直徑的圓的圓心和半徑分別為：,設直線的方程為,直線與以為直徑的圓相交的弦長為,由圓的垂徑定理可知：

,化簡得：顯然不是定值,故不存在直線被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值.