Question

（本小題共13分）在等差數列中，，其前項和為，等比數列的各項均為正數，，公比為，且， ．
（Ⅰ）求與；
（Ⅱ）證明：≤．

Answer 1

解：（Ⅰ）設的公差為，
因為所以
解得 或（舍），．
故 ，．               ……………6分
（Ⅱ）因為，
所以．                  ………9分
故
．                                      ………11分
因為≥，所以≤，于是≤，
所以≤．
即≤．                       ……………13分

本題考查等差數列和等比數列的通項公式以及等比數列的前n項和，考查學生利用基本量思想和方程思想的解題能力。清晰數列的通項公式和求和公式聯立方程求解是解決本類題目常用的解題思路，考查學生的計算能力。在數列求和問題中，由于題目的千變萬化，使得不少同學一籌莫展，方法老師也介紹過，就不清楚什么特征用什么方法.為此提供一個通法 “特征聯想法”：就是抓住數列的通項公式的特征，再去聯想常用數列的求和方法.通項公式作為數列的靈魂，只有抓住它的特征，才能對號入座，得到求和方法.
特征一：，數列的通項公式能夠分解成幾部分，一般用“分組求和法”.特征二：，數列的通項公式能夠分解成等差數列和等比數列的乘積，一般用“錯位相減法”.特征三：，數列的通項公式是一個分式結構，一般采用“裂項相消法”.特征四：，數列的通項公式是一個組合數和等差數列通項公式組成，一般采用“倒序相加法”.本題第二問采用裂項相消法，結合不等式的放縮法進行證明.