【題目】如圖所示，在多面體
中， 
與
均為邊長為2的正方形， 
為等腰直角三角形， 
，且平面
平面
，平面
平面
.
（Ⅰ）求證：平面
平面
；
（Ⅱ）求平面
與平面
所成銳二面角的余弦值.
【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）
.
【解析】試題分析：（Ⅰ）由線面垂直可得
，由
為等腰直角三角形可得
，從而
平面
，進而可得平面
平面
；（Ⅱ）以
為原點，以
， 
， 
分別為
軸， 
軸， 
軸建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求出平面
與平面
的的一個法向量，根據空間向量夾角余弦公式，可得結果
試題解析：（Ⅰ） 
平面
平面
，且
，
平面
.
平面
， 
.
又
為等腰直角三角形， 
， 
.
， 
平面
.
又
平面
， 
平面
平面
.
（Ⅱ）
平面
平面
， 
，
平面
，
， 
.
又
， 
以
為原點，以
， 
， 
分別為
軸， 
軸， 
軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則由題意，知
， 
， 
， 
， 
，
， 
， 
， 
.
設
為平面
的一個法向量，則
由
得
取
，則
.
設
為平面
的一個法向量，則
由
得
取
，則
，
.
平面
與平面
所成銳二面角的余弦值為
.
【方法點晴】本題主要考查線面垂直的性質、面面垂直的判定，利用空間向量二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司今年年初用25萬元引進一種新的設備，投入設備后每年收益為21萬元．該公司第n年需要付出設備的維修和工人工資等費用an的信息如圖． 
（1）求an；
（2）引進這種設備后，第幾年后該公司開始獲利；
（3）這種設備使用多少年，該公司的年平均獲利最大？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（本小題滿分13分）
如圖，在四棱錐
中，
平面
，
，
，
，
，
，
.
（I）求異面直線
與
所成角的余弦值；
（II）求證：
平面
；
（II）求直線
與平面所成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，有一壁畫，最高點A處離地面AO=4m，最低點B處離地面BO=2m，觀賞它的C點在過墻角O點與地面成30°角的射線上． 
（1）設點C到墻的距離為x，當x= 
m時，求tanθ的值；
（2）問C點離墻多遠時，視角θ最大？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，且CD=2，AB=BC=PA=1，PD= 
． 
（1）求三棱錐A﹣PCD的體積；
（2）問：棱PB上是否存在點E，使得PD∥平面ACE？若存在，求出 
的值，并加以證明；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知一個幾何體的三視圖如圖所示． 
（1）求此幾何體的表面積；
（2）在如圖的正視圖中，如果點A為所在線段中點，點B為頂點，求在幾何體側面上從點A到點B的最短路徑的長．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知兩個無窮數列
和
的前
項和分別為
， 
， 
， 
，對任意的
，都有
．
（1）求數列
的通項公式；
（2）若
為等差數列，對任意的
，都有
．證明： 
；
（3）若
為等比數列， 
， 
，求滿足
的
值．
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