Question

已知點(diǎn)F1、F2分別是

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞o，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，A、B是以0（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）為圓心，|OF₁|為半徑的圓與雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且滿足△F₂AB是正三角形，則此雙曲線的離心率為（　　）

• A、

  3

  +1
• B、

  13

  2

• C、

  5

• D、

  3

Answer 1

分析：先設(shè)F₁F₂=2c，根據(jù)△F₂AB是等邊三角形，判斷出∠AF₂F₁=30°，進(jìn)而在RT△AF₁F₂中求得AF₁和AF₂，進(jìn)而根據(jù)雙曲線的定義列出關(guān)于a的方程，用c表示出a，利用雙曲線的離心率公式即可求得．

解答：解：如圖，設(shè)F₁F₂=2c，
∵△F₂AB是等邊三角形，
∴∠AF₂F₁=30°，
∴AF₁=c，AF₂=

3

c，
∴a=

3 c-c

2

e=

c

a

=

2c

3 c-c

=

3

+1．
故選A

點(diǎn)評(píng)：此題要求學(xué)生掌握定義：到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差等于|2a|的點(diǎn)所組成的圖形即為雙曲線．考查了數(shù)形結(jié)合思想、本題凸顯解析幾何的特點(diǎn)：“數(shù)研究形，形助數(shù)”，利用幾何性質(zhì)可尋求到簡(jiǎn)化問題的捷徑．