Question

（2012•青州市模擬）已知點F₁，F₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點，點P為橢圓上任意一點，P到焦點F₂的距離的最大值為

2

+1，且△PF₁F₂的最大面積為1．
（ I）求橢圓C的方程．
（ II）點M的坐標為(

5

4

，0)，過點F₂且斜率為k的直線L與橢圓C相交于A，B兩點．對于任意的k∈R，

MA

•

MB

是否為定值？若是求出這個定值；若不是說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用P到焦點F₂的距離的最大值為

2

+1，且△PF₁F₂的最大面積為1，結合a²=b²+c²，求出a，c，b可得橢圓的方程．
（Ⅱ）利用直線與橢圓方程，通過韋達定理，結合向量的數量積化簡得到定值即可．

解答：解：（ I）由題意可知：a+c=

2

+1，

1

2

×2c×b=1，
∵a²=b²+c²
∴a²=2，b²=1，c²=1
∴所求橢圓的方程為：

x2

2

+y2=1…．（4分）
（ II）設直線l的方程為：y=k（x-1）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（

5

4

，0）
聯立直線與橢圓方程，消去y可得（2k²+1）x²-4k2x+2（k²-1）=0
則

x1+x2= 4k2 1+2k2 x1x2= 2k2-2 1+2k2 △＞0

MA =(x1- 5 4 ，y1) MB =(x2- 5 4 ，y2) ∴ MA • MB =(x1- 5 4 )(x2- 5 4 )+y1y2 =- 5 4 (x1+x2)+x1x2+ 25 16 +y1y2 =- 7 16

∴對于任意的k∈R，

MA

•

MB

為定值．

點評：本題是中檔題，考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關系，注意余弦定理、面積公式橢圓的定義以及向量數量積的綜合應用，考查計算能力，轉化思想